Il caos della natura

Sei in frattali2

Cerchiamo, ora, di capire cosa è la dimensione frazionaria, spiegando prima il concetto di dimensione e poi come è possibile calcolarla attraverso una semplice formula matematica.
Cominciamo ad analizzare la dimensione di una linea. Si può facilmente capire che essa ha dimensione 1, infatti se proviamo a muoverci lungo una linea possiamo andare in una sola direzione. Per lo stesso motivo, il quadrato ha dimensione 2 e il cubo ha dimensione 3. Ma, come possiamo determinare la dimensione di un frattale che sembra, in alcuni casi, averne tantissime e in altri averne solo una?
Per trovare questa dimensione possiamo fare riferimento al concetto di autosimilarità, applicato prima alla linea, poi al quadrato, poi al cubo e infine al frattale.
Una linea può essere divisa in n parti uguali, ognuna di lunghezza pari a 1/n rispetto a quella originale;
Anche un quadrato può essere diviso in n quadrati uguali, ottenendo così n² quadratini di dimensione 1/n rispetto al quadrato originale.
Un cubo, a sua volta può essere determinato da n^3 cubetti di dimensione 1/n il cubo originale. Di conseguenza si potrebbe determinare la dimensione di una figura geometrica attraverso l’esponente attribuito ad n.
Questo, in matematica, equivale a fare il logaritmo
o anche
Dove n elevato all’esponente è il numero di pezzi ottenuto, mentre n è l’ingrandimento che si fa sulla figura per ottenere quella di partenza.
Nel caso della retta, ad esempio Nel caso del quadrato Nel caso del rombo
Proviamo ora ad applicare questa formula al frattale generatore del fiocco di neve.
Nel fiocco di neve si ha, nella prima iterazione, un oggetto formato da 4 segmenti e per ottenere un segmento uguale a quello da cui siamo partiti bisogna attuare un ingrandimento di 3.
Quindi la dimensione di questa prima iterazione sarà
che non è un numero intero ma un numero frazionario per questo motivo si dice che i frattali sono a dimensione frazionaria.
Ora è curioso sapere come è possibile costruire un oggetto a dimensione frazionaria. Ciò è possibile grazie alle omotetie applicabili sugli oggetti in questione.